若xi>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:(x1+x2)(1x1+1x2)≥4,(x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)≥9,…,请你猜测(x
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若xi>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:(x1+x2)(1x1+1x2)≥4,(x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)≥9,…,请你猜测(x
题型:不详
难度:
来源:
若x
i
>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:(x
1
+x
2
)(
1
x
1
+
1
x
2
)≥4,(x
1
+x
2
+x
3
)(
1
x
1
+
1
x
2
+
1
x
3
)≥9,…,
请你猜测(x
1
+x
2
+…+x
n
)(
1
x
1
+
1
x
2
+…+
1
x
n
)满足的不等式,并用数学归纳法加以证明.
答案
满足的不等式为(x
1
+x
2
+…+x
n
)(
1
x
1
+
1
x
2
+…+
1
x
n
)≥n
2
(n≥2),
证明如下:
(1)当n=2时,猜想成立;
(2)假设当n=k时,猜想成立,即(x
1
+x
2
+…+x
n
)(
1
x
1
+
1
x
2
+…+
1
x
n
)≥k
2
,
那么n=k+1时,(x
1
+x
2
+…+x
k+1
)(
1
x
1
+
1
x
2
+…+
1
x
k
)≥k
2
+2k+1=(k+1)
2
则当n=k+1时猜想也成立,根据(1)(2)可得猜想对任意的n∈N,n≥2都成立.
举一反三
(不等式选讲)
用数学归纳法证明不等式:
(
且
)
题型:不详
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|
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用数学归纳法证明
题型:不详
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|
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用数学归纳法证明
,
题型:不详
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|
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已知
是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的
,若
成立,则
成立,下列命题成立的是
A.若
成立,则对于任意
,均有
成立;
B.若
成立,则对于任意的
,均有
成立;
C.若
成立,则对于任意的
,均有
成立;
D.若
成立,则对于任意的
,均有
成立。
题型:不详
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|
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(湖北理21)(本小题满分14分)
已知
m
,
n
为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当
x
>-1时,(1+
x
)
m
≥1+
mx
;
(Ⅱ)对于
n
≥6,已知
,求证
,
m
=1,1,2…,
n
;
(Ⅲ)求出满足等式3
n
+4
m
+…+(
n
+2)
m
=(
n
+3)
n
的所有正整数
n
.
题型:不详
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|
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