证明:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,n=1,2,3,… (i)当n=1时,由已知显然结论成立; (ii)假设当n=k时结论成立,即, 因为0<x<1时,, 所以f(x)在(0,1)上是增函数, 又f(x)在[0,1]上连续, 从而, 故n=k+1时,结论成立; 由(i)、(ii)可知,对一切正整数都成立, 又因为时,, 所以; 综上所述,。 (Ⅱ)设函数,0<x<1, 由(Ⅰ)知,当0<x<1时,sinx<x, 从而, 所以g(x)在(0,1)上是增函数, 又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0, 所以当0<x<1时,g(x)>0成立, 于是, 故。 |