已知函数,设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-| ,Sn=b1+b2+…bn(n∈N*)。(1)用数学归纳法证明;
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已知函数,设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-| ,Sn=b1+b2+…bn(n∈N*)。(1)用数学归纳法证明;
题型:辽宁省高考真题
难度:
来源:
已知函数
,设数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
),数列{b
n
}满足b
n
=|a
n
-
| ,S
n
=b
1
+b
2
+…b
n
(n∈N*)。
(1)用数学归纳法证明
;
(2)证明
。
答案
解:(1)证明:当
时,
因为a
1
=1
所以
下面用数学归纳法证明不等式
(i)当n=1时,b
1
=
,不等式成立;
(ii)假设当n=k时,不等式成立,即
那么b
k+1
=
所以,当n=k+1时,不等也成立。
根据(i)和(ii),可知不等式对任意n∈N*都成立。
(2)由(1)知
所以
故对任意
。
举一反三
已知数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n+1
=(
-1)(a
n
+2),n=1,2,3,…
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{b
n
}中,b
1
=2,b
n+1
=
,n=1,2,3,…,证明:
<b
n
≤a
4n-3
,n=1,2,3,…
题型:高考真题
难度:
|
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已知m,n为正整数。
(1)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)
m
≥1+mx;
(2)对于n≥6,已知
,求证:
,m=1,2…,n;
(3)求出满足等式3
n
+4
n
+…+(n+2)
n
=(n+3)
n
的所有正整数n。
题型:湖北省高考真题
难度:
|
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已知数列{a
n
},a
n
≥0,a
1
=0,a
n+1
2
+a
n+1
-1=a
n
2
(n∈N*),记:S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
,
,求证:当n∈N*时,
(Ⅰ)a
n
<a
n+1
;
(Ⅱ)S
n
>n-2;
(Ⅲ)T
n
<3。
题型:浙江省高考真题
难度:
|
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设数列{a
n
}满足:a
1
=2,a
n+1
=a
n
+
(n=1,2,3,…)。
(1)证明:
对一切n恒成立;
(2)令
,判断b
n
与b
n+1
的大小,并说明理由。
题型:重庆市高考真题
难度:
|
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已知函数f(x)=x-sinx,数列{a
n
}满足:0<a
1
<1,a
n+1
=f(a
n
),n=1,2,3,…,
证明:(Ⅰ)0<a
n+1
<a
n
<1;
(Ⅱ)
。
题型:湖南省高考真题
难度:
|
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