解:(1)用数学归纳法证明:
(i)当时,原不等式成立;
当时,左边,右边,
因为,
所以左边≥右边,原不等式成立;
(ii)假设当时,不等式成立,即,
则当时,
∵,
∴,
于是在不等式两边同乘以得,
所以
即当时,不等式也成立
综合(i)(ii)知,对一切正整数,不等式都成立。
(2)当时,由(1)得
于是,。
(3)解:由(2),当时,
,
∴
即
即当时,不存在满足该等式的正整数n
故只需要讨论的情形:
当时,,等式不成立;
当时,,等式成立;
当时,,等式成立;
当时,为偶数,而为奇数,
故,等式不成立;
当时,同的情形可分析出,等式不成立
综上,所求的n只有。
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