【题文】函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ &#

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【题文】函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（   ）
①；
②；
③；
④

A．①②③④

B．①②④

C．①③④

D．①③

答案

【答案】C

解析

【解析】
试题分析：函数中存在“倍值区间”，则：①在内是单调函数；②
①，若存在“倍值区间”，则
∴，若存在“倍值区间”[0，2]；
②，若存在“倍值区间”，则
构建函数，∴，
∴函数在上单调减，在上单调增，∴函数在处取得极小值，且为最小值．
∵，∴恒成立，∴无解，故函数不存在“倍值区间”；
③因为，所以
若存在“倍值区间”，则，若存在“倍值区间”；
④）（a＞0，a≠1）．不妨设，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”，则必有m，n是方程的两个根，必有m，n是方程的两个根，由于存在两个不等式的根，故存在“倍值区间”[m，n]；综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
考点：函数单调性、函数的定义域、函数的值域.