【题文】（本小题满分16分）已知函数（a为常数）.（Ⅰ）若，写出的单调增区间；（Ⅱ）若，设在区间上的最小值为，求的表达式；（Ⅲ）设，若函数在区间上是增函数，求实

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【题文】（本小题满分16分）已知函数（a为常数）.
（Ⅰ）若，写出的单调增区间；
（Ⅱ）若，设在区间上的最小值为，求的表达式；
（Ⅲ）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.

答案

【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出函数的解析式，画图即可求出；（Ⅱ）由 ，有，对称轴，讨论函数对称轴在、、这三种情况下的最小值；（Ⅲ）确定，函数在区间上是增函数，需满足在区间上任取，且，恒成立，可转化为，对任意，且恒成立， 分、、，进行讨论.
试题解析：（1）当a=1时，，画出其图象，
易得的增区间为：和  （写对一个给2分）      4分
（2）因为，所以，又
①当，即时，在上递增，在上递减
所以          6分
②当，即时，在上递增，所以 8分
③当，即时，在上递减，所以   10分
综上： （没有用分段函数表示的不扣分）
（3），在区间上任取，且，
则
，（*）              12分
在上是增函数，，
∴（*）可转化为对任意，且都成立，
即，
①当时，上式显然成立                   13分
②当时，，由，得，解得 14分
③当时，，，得     15分
所以实数的取值范围是                        16分
另解：当时，单调递增，满足题意；      12分
当时，在上递增，在上递减，则有                                    14分
当时，单调递增，满足题意；                15分
当时，在上递减，在上递增，则有                        
综上，                                   16分
考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数知识的综合运用.