【题文】(本题满分14分)已知函数,(其中).(Ⅰ)如果函数和有相同的极值点,求的值,并直接写出函数的单调区间;(Ⅱ)求方程在区间上实数解的个数.
题型:难度:来源:
【题文】(本题满分14分)已知函数
,
(其中
).
(Ⅰ)如果函数
和
有相同的极值点,求
的值,并直接写出函数
的单调区间;
(Ⅱ)求方程
在区间
上实数解的个数.
答案
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析
解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)分别求出函数
和
的极值点,让其相等即可解决即
或
,注意分类讨论;(Ⅱ)注意到
,令
分
三种情况进行讨论,在
的情况较为复杂,当
即
或
时,若
,由于
,三个点函数值正负已确定,易得原方程有唯一实数解;若
时,由于
,由于
函数值正负情况不知,所以需分类讨论即当
与
最终才会获解
试题解析:(Ⅰ)
,
则
, 1分
令
,得
或
,而二次函数
在
处有极大值,所以
或
,
解得
或
; 4分
当
时,
的递增区间为
,
,递减区间为
. 5分
当
时,
的递增区间为
,递减区间为
. 6分
(Ⅱ)
, 8分
令
,
,
当
即
时,
无实根,故原方程的解为
,满足题意,
即原方程有唯一实数解
; 9分
当
即
或
时,
若
,则
的实数解为
,故原方程在区间
上有唯一实数解
;
若
,则
的实数解为
,故原方程在区间
上有两实数解,
或
; 10分
当
即
或
时,
若
,由于
,此时
在区间
上有一实数解,故原方程有唯一实数解; 11分
若
时,由于
,
当
即
时,
在区间
上有唯一实数解,故原方程有一实数解;
若
即
时,
在区间
上无实数解,故原方程有无实数解; 13分
综上,当
时,原方程在
上无实数解;
当
或
时,原方程在
上有唯一实数解;
当
时,原方程在
上有两不等实数解. 14分
考点:导数及其综合应用
举一反三
【题文】已知函数
在区间
上是单调减函数,则实数
的取值范围是
.
【题文】已知定义在实数集
上的偶函数
在区间
上是单调减函数,则不等式
的解集是
.
【题文】函数
在区间
上的最大值为4,则实数
的值为
.
【题文】(本小题满分14分)已知函数
.
(Ⅰ)试判断函数的单调性并加以证明;
(Ⅱ)对任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【题文】(本小题满分16分)已知函数
(a为常数).
(Ⅰ)若
,写出
的单调增区间;
(Ⅱ)若
,设
在区间
上的最小值为
,求
的表达式;
(Ⅲ)设
,若函数
在区间
上是增函数,求实数a的取值范围.
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