【题文】(本小题满分12分)已知函数,其中.(Ⅰ)用定义证明函数在上单调递减;(Ⅱ)结合单调性,求函数在区间上的最大值和最小值.
题型:难度:来源:
【题文】(本小题满分12分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183227-33709.png)
,其中
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183228-96356.png)
.
(Ⅰ)用定义证明函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183228-30733.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183229-91023.png)
上单调递减;
(Ⅱ)结合单调性,求函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183227-33709.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183229-91023.png)
上的最大值和最小值.
答案
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183229-19108.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183230-26010.png)
.
解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)单调性的证明必须按照定义证明,其步骤分为:取值、作差、变形、定号、对照定义下结论.(Ⅱ)知道了函数在给定区间上的单调性,求最值就很容易.
试题解析:(Ⅰ)证明:设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183230-50024.png)
是区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183231-15557.png)
上的两个任意实数且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183231-33848.png)
2分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183231-74633.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183232-37475.png)
5分
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183232-57258.png)
www.ks5u.com∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183232-31378.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183233-13123.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183233-61991.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183234-40850.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183234-90270.png)
.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183235-40277.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183229-91023.png)
上是单调减函数 8分
(Ⅱ)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183235-18979.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183229-91023.png)
上是单调减函数,
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183229-19108.png)
10分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183230-26010.png)
12分
考点:函数的单调性与最值.
举一反三
【题文】(本小题满分12分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183153-75223.png)
是定义在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183154-61852.png)
上的偶函数.若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183155-90768.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183155-57000.png)
.
(Ⅰ)当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183155-72461.png)
时,求函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183153-75223.png)
的解析式;
(Ⅱ)画出
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183153-75223.png)
的简图;(要求绘制在答题卷的坐标纸上);
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183156-65276.png)
(Ⅲ)结合图像写出
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183153-75223.png)
的单调区间(只写结论,不用证明).
【题文】(本小题满分12分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183140-42718.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183140-65859.png)
.
(Ⅰ)当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183141-10583.png)
时,求函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183141-89018.png)
的值域;
(Ⅱ)若函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183141-89018.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183142-33648.png)
上是单调函数,求实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183142-66140.png)
的取值范围.
【题文】(本小题满分12分)已知函数定义域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183115-72945.png)
,若对于任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183115-71510.png)
,都有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183116-75298.png)
,且时,有.
(Ⅰ)证明函数是奇函数;
(Ⅱ)讨论函数在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183115-72945.png)
上的单调性;
(Ⅲ)设,若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183116-44750.png)
,对所有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183116-51035.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183117-75000.png)
恒成立,求实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183117-21678.png)
的取值范围.
【题文】设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183034-89176.png)
是R上的偶函数, 且在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183035-16397.png)
上递减, 若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183035-13075.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183036-26258.png)
那么x的取值范围是
.
【题文】给出下列命题:①函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183011-79507.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183012-89732.png)
上的值域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183012-35055.png)
;②函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183012-32789.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183013-44215.png)
是奇函数;③函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183013-97245.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325183014-41401.png)
上是减函数;其中正确命题的个数有
.(将正确的序号都填上)
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