【题文】函数对于任意的实数都有成立,且当时恒成立.(1)证明函数的奇偶性;(2)若,求函数在上的最大值;(3)解关于的不等式

【题文】函数对于任意的实数都有成立,且当时恒成立.(1)证明函数的奇偶性;(2)若,求函数在上的最大值;(3)解关于的不等式

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【题文】函数对于任意的实数都有成立,且当恒成立.
(1)证明函数的奇偶性;
(2)若,求函数上的最大值;
(3)解关于的不等式
答案
【答案】(1)见解析;(2)4;(3)
解析
【解析】
试题分析:(1)先求出,再取,证明出,得出为奇函数.(2)先用定义法证明是在上是减函数,即得出在最大.(3)通过已知给出的式子讲不等式合并成一项,再通过当恒成立,即可解出不等式.
试题解析:(1)令,再令,即得,所以是奇函数      2分
设任意的,且,则,由已知得(1)
(2)
由(1)(2)可知
由函数的单调性定义知上是减函数    6分
时,
时的最大值为.      8分
由已知得:,所以
所以,所以,当恒成立,所以恒大于,解得,即原不等式的解集是.  14分
考点:函数的奇偶性和单调性的综合应用.
举一反三
【题文】已知, 则的最小值为        .
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【题文】已知函数上是增函数,,若 ,则的取值范围是(  )
A.B.C.D.
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【题文】(12分)已知函数 
(1)若在区间上是单调函数,求实数的取值范围;
(2)求函数的最小值
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【题文】(12分)函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求实数的值;
(2)判断上的单调性,并用定义证明判断出的结论;
(3)判断有无最值?若有,求出最值。
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【题文】若分别为R上的奇函数,偶函数,且满足,则有(   )
A.
B.
C.
D.
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