【题文】函数对于任意的实数都有成立，且当时恒成立.（1）证明函数的奇偶性；（2）若，求函数在上的最大值；（3）解关于的不等式

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【题文】函数对于任意的实数都有成立，且当时恒成立.
（1）证明函数的奇偶性；
（2）若，求函数在上的最大值；
（3）解关于的不等式

答案

【答案】（1）见解析;（2）4;（3）

解析

【解析】
试题分析：（1）先求出，再取，证明出，得出为奇函数.（2）先用定义法证明是在上是减函数，即得出在上最大.（3）通过已知给出的式子讲不等式合并成一项，再通过当时恒成立，即可解出不等式.
试题解析：（1）令得，再令，即得，所以是奇函数      2分
设任意的，且，则，由已知得（1）
又（2）
由（1）（2）可知，
由函数的单调性定义知在上是减函数    6分
时，，
当时的最大值为.      8分
由已知得：，所以，
所以，所以，当时恒成立，所以恒大于，解得，即原不等式的解集是.  14分
考点：函数的奇偶性和单调性的综合应用.