【题文】（本题满分12分）已知二次函数的最小值为－1，且，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在上的单调区间与值域.

题型：难度：来源：

【题文】（本题满分12分）已知二次函数的最小值为－1，且，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在上的单调区间与值域.

答案

【答案】（Ⅰ）a="1," b=-4, c=3；（Ⅱ）[-1，8].

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法求二次函数的解析式,根据函数为二次函数，且f(1)=f(3)=0，可以得到函数对称轴x=2，f(x)的最小值为-1，得到顶点坐标，设，不难求解得到a,进而得到函数解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）判断对称轴与区间的位置关系， 不难得到函数的的单调区间，然后求得函数最值，进而得到函数值域．
试题解析：（Ⅰ） ∵  f(x)为二次函数    f(1)=f(3)=0
∴对称轴为x=2                                   
∵二次函数f(x)的最小值为-1,
∴设二次函数的解析式为：         1分
∵f(1)=0   ∴a-1=0     即 a=1                       2分
∴,
故a="1," b=-4, c=3                                        4分
（Ⅱ）f(x)的单调减区间为：[-1，2]，单调增区间为：[2，4]     8分
∴f(x)在x=2处取得最小值为-1,                            9分
而f(x)在x=-1处取得最大值为8                            10分
故f(x)在[-1，4]上的的值域为：[-1，8]                     12分
考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．