【题文】(14分)已知函数.(1)用定义证明是偶函数;(2)用定义证明在上是减函数;(3)作出函数的图像,并写出函数当时的最大值与最小值.
题型:难度:来源:
【题文】(14分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-87798.png)
.
(1)用定义证明
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
是偶函数;
(2)用定义证明
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-69465.png)
上是减函数;
(3)作出函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
的图像,并写出函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211454-88211.png)
时的最大值与最小值.
答案
【答案】(1)证明过程见试题解析,(2)证明过程见试题解析,(3)最大值7,最小值
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211454-34494.png)
。
解析
【解析】
试题分析:(1)先求出
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
定义域为R,然后再求得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211455-25058.png)
,易得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211455-80208.png)
,(2)根据减函数的定义,先在定义域内任取两个变量
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211456-28766.png)
,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211456-52621.png)
,然后作差因式分解得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211457-58320.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211457-34209.png)
,又
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211458-63517.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211456-52621.png)
,可知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211458-61370.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-69465.png)
上是减函数,(3)因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-87798.png)
为二次函数,根据列表、描点、连线可画出它在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211459-87722.png)
的大致图像。
试题解析:(1)证明:函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
的定义域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211459-61904.png)
,对于任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211500-14577.png)
,都有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211500-29643.png)
,∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
是偶函数.
(2)证明:在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-69465.png)
上任取
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211456-28766.png)
,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211456-52621.png)
,则有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211501-54473.png)
,
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211458-63517.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211456-52621.png)
,∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211502-32239.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211502-32276.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211458-61370.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-93415.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211453-69465.png)
上是减函数.
(3)图略,最大值为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211502-75839.png)
,最小值为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211503-36767.png)
.
考点:(1)偶函数定义,(2)减函数定义,(3)数形结合求函数最值问题。
举一反三
【题文】(14分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211354-61028.png)
是定义在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211355-74582.png)
上的奇函数,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211354-61028.png)
在定义域上是减函数,
(1)求函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211356-64971.png)
定义域; (2)若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211356-20278.png)
,求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211357-71605.png)
的取值范围.
【题文】(14分) 已知二次函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211345-54073.png)
满足
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211345-35376.png)
,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211345-51393.png)
(1)求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211345-54073.png)
的解析式,
(2)若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211345-54073.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211346-84161.png)
上单调,求实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211346-44664.png)
的取值范围.
【题文】(14分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211325-42088.png)
(1) 判断并证明函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211326-37940.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211327-93628.png)
上的单调性
(2)若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211327-30729.png)
,求参数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211327-19725.png)
的取值范围。
【题文】(14分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211300-89886.png)
(
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211301-58988.png)
∈R).
(1)画出当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211301-58988.png)
=2时的函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211302-85241.png)
的图象;
(2)若函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211302-85241.png)
在R上具有单调性,求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211301-58988.png)
的取值范围.
【题文】
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325211141-39085.png)
的单调减区间是
.
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