【解析】(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=
-2ax+(2-a)=-
.
①若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
②若a>0,则由f′(x)=0得x=
,且当x∈
时,f′(x)>0,当x>
时,f′(x)<0.所以f(x)在
上单调递增,在
上是减函数.
(2)解:设函数g(x)=f
-f
,
则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,
g′(x)=
-2a=
.
当0<x<
时,g′(x)>0,而g(0)=0,所以g(x)>0.
故当0<x<
时,f
>f
.
(3)证明:由(1)可得,当a≤0时,函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点,
故a>0,从而f(x)的最大值为f
,且f
>0.
不妨设A(x
1,0),B(x
2,0),0<x
1<x
2,则0<x
1<
<x
2.
由(2)得f
=f
>f(x
1)=0.
从而x
2>
-x
1,于是x
0=
>
.由(1)知,f′(x
0)<0