【题文】(本小题满分14分)已知定义域为的函数是奇函数
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【题文】(本小题满分14分)已知定义域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202914-81132.png)
的函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-63907.png)
是奇函数
⑴求函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
的解析式;
⑵判断并证明函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
的单调性;
⑶若对于任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202916-76208.png)
,不等式
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202916-16670.png)
恒成立,求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202917-77676.png)
的取值范围.
答案
【答案】(1)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202917-49021.png)
(2)减函数,证明见解析(3)
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解析
【解析】
试题分析:⑴∵
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为奇函数,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202918-19518.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202919-42579.png)
, 解得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202919-18285.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202917-49021.png)
,检验得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202920-83648.png)
,满足条件. …4分
⑵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202920-17973.png)
为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202914-81132.png)
上的减函数
证明:设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202921-90307.png)
则
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202922-67053.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-52932.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-38528.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
为减函数 …8分
⑶∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202916-16670.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-63389.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202925-99545.png)
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
为奇函数,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202925-32219.png)
,
则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202926-77974.png)
.
又
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
为减函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-63389.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202926-84040.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202927-58447.png)
恒成立,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202927-85239.png)
时显然不恒成立,
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202928-16691.png)
…14分
考点:本小题主要考查利用奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,利用函数的单调性求解抽象不等式以及恒成立问题.
点评:如果奇函数在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202928-87943.png)
处有意义,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202929-64044.png)
这一性质在解题时可以简化运算,特别好用,另外在用定义证明单调性时一定要把结果化到最简,尽量不要用已知函数的单调性来判断未知函数的单调性.解抽象不等式,关键是利用单调性“脱去”外层符号,得出具体的不等式,这一过程中要注意定义域是否有影响.
举一反三
【题文】设函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326201252-70849.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326201253-41228.png)
的图象关于直线
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326201253-60126.png)
及直线
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326201253-91473.png)
对称,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326201257-25897.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326201257-37795.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326201258-87229.png)
( )
【题文】定义在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200931-19148.png)
上的偶函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200931-24380.png)
,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200931-27701.png)
≥0时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200931-24380.png)
是单调递增的,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200931-42102.png)
<0,则函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200931-24380.png)
的图像与
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200931-27701.png)
轴交点个数是
。
【题文】定义在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200911-36210.png)
上的偶函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200912-14676.png)
,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200912-28667.png)
≥0时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200912-14676.png)
是单调递增的,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200913-85912.png)
<0,则函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200912-14676.png)
的图像与
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200912-28667.png)
轴交点个数是
。
【题文】已知定义在R上的奇函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200856-68706.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200857-68850.png)
,满足
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200857-74461.png)
,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
【题文】已知定义在实数集
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200609-46781.png)
上的偶函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200610-73082.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200610-64368.png)
上是单调递增,若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200610-78722.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326200611-75054.png)
的取值范围是
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