【题文】已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.B.C.D.
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【题文】已知定义在R上的奇函数
,满足
,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
答案
【答案】D
解析
【解析】
试题分析:∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),
∴f(x-8)=f(x),
∴函数是以8为周期的周期函数,
则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),
又∵f(x)在R上是奇函数,f(0)=0,
得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1),
而由f(x-4)=-f(x)
得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1),
又∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数
∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数
∴f(1)>f(0)>f(-1),
即f(-25)<f(80)<f(11),
故选D
考点:本题主要考查了抽象函数的周期性来转化区间,单调性来比较函数值的大小.
点评:解决该试题的关键是由f(x)满足f(x-4)=-f(x)可变形为f(x-8)=f(x),得到函数是以8为周期的周期函数,则有f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),再由f(x)在R上是奇函数,f(0)=0,得到f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1),再由f(x)在区间[0,2]上是增函数,以及奇函数的性质,推出函数在[-2,2]上的单调性,即可得到结论.
举一反三
【题文】已知定义在实数集
上的偶函数
在区间
上是单调递增,若
,则
的取值范围是
【题文】设周期函数
是定义在R上的奇函数,若
的最小正周期为3,且满足
,
,则
的取值范围是
.
【题文】下列函数中是偶函数且在
上单调递增的是 ( )
【题文】已知函数
恒成立,则k的取值范围为
。
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