【题文】（本小题满分12分）已知二次函数.（1）若，且对任意实数均有，求的表达式；（2）在（1）的条件下，当时，设，求g（x）最小值.

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【题文】（本小题满分12分）已知二次函数.
（1）若，且对任意实数均有，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，当时，设，求g（x）最小值.

答案

【答案】（1）,
（2）若时，当时，取得最小值；
若时，当时，取得最小值；
若时，当时，取得最小值；

解析

【解析】
试题分析：第一问：二次函数的图像是开口向上的抛物线，要求对任意实数均有，只需要求抛物线与轴无交点或一个交点，即.第二问是求含参二次函数的最大值与最小值问题，由于二次项系数为1，开口向上，对称轴的位置与有关，所以针对对称轴的三种不同位置加以分类研究，求出相应的最小值。
试题解析：（1）[法一]依题意有得：.......?，
又因为对任意实数都成立，说明二次函数的图象抛物线的开口向上，与轴相离或相切，即........?，把?代入?得：，即：，所以只能；这时.则
[法二]依题意有得：.......?，
又的最小值为，又因为对任意实数都有成立，则，，即.........?,
将?代入?得：，则
因为，所以=
抛物线开口向上，对称轴方程为
?若，即时，在上是增函数，当时，取得最小值
?若，即时，在上是减函数，在上是增函数，
当时，取得最小值；
?若，即时，在上是减函数,当时，取得最小值；
考点：1.一元二次不等式恒成立；2.二次函数的最大值与最小值；3.分类讨论思想解题