两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ角放置，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直

题型：南开区一模难度：来源：

两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ角放置，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，它们的电阻不计．现让ab杆由静止开始沿导轨下滑．
（1）求ab杆下滑的最大速度v_m；
（2）ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，电阻R产生的焦耳热为Q，求该过程中ab杆下滑的距离x及通过电阻R的电量q．

答案

（1）根据法拉第电磁感应定律和安培力公式有：
E=BLv   ①
I=

E

R

   ②
F_A=BIL    ③
根据牛顿第二定律有：
mgsinθ-F_A=ma   ④
联立①②③④得：mgsinθ-

B2L2v

R

=ma
当加速度a为零时，速度v达最大，速度最大值：vm=

mgRsinθ

B2L2

故ab杆下滑的最大速度为vm=

mgRsinθ

B2L2

．
（2）根据能量守恒定律有：
mgxsinθ=

1

2

mvm2+Q
得x=

Q

mgsinθ

+

m2R2gsinθ

2B4L4

根据电磁感应定律有：

.

E

=

△φ

△t

根据闭合电路欧姆定律有：
 

.

I

=

. E

R

感应电量：
q=

.

I

△t=

△φ

R

=

BLx

R

得：q=

BLQ

mgRsinθ

+

m2Rgsinθ

2B3L3

故过程中ab杆下滑的距离为x=

Q

mgsinθ

+

m2R2gsinθ

2B4L4

，通过电阻R的电量为q=

BLQ

mgRsinθ

+

m2Rgsinθ

2B3L3

．