如图所示，O为竖直平面内14圆弧轨道的圆心，B点的切线刚好沿水平方向．一个质量为m的滑块（可视为质点）从A点由静止开始滑下，最终落到地面上的C点．已知A点离地面

题型：不详难度：来源：

如图所示，O为竖直平面内

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4

圆弧轨道的圆心，B点的切线刚好沿水平方向．一个质量为m的滑块（可视为质点）从A点由静止开始滑下，最终落到地面上的C点．已知A点离地面的高度为h，圆弧轨道的半径为R，重力加速度为g．不计一切摩擦．求：
（1）滑块经B点时的速度大小；
（2）滑块经B点时对轨道的压力；
（3）在保证A点位置不变的情况下，改变圆弧轨道
的半径（总小于h），再让滑块从A点由静止滑下，A点到滑块落地点的水平距离最大是多少？此时圆弧轨道的半径是多大？

答案

（1）滑块从A到B的过程中，由机械能守恒得mgR=

1

2

m

v

2B

解得   vB=

2gR

（2）滑块经B点时，由向心力公式有N-mg=m

v 2B

R

解得   N=3mg                                                  
由牛顿第三定律知，滑块经B点时对轨道的压力大小为3mg，方向竖直向下．
（3）设轨道半径为r，滑块从B点开始做平抛运动，需时间t落地，则h-r=

1

2

gt2
平抛的水平距离   x_BC=v_Bt
联立解得A、C两点的水平距离为    xAC=r+xBC=r+2

r(h-r)

令r=hsin²θ，则AC两点的水平距离为xAC=h(sin2θ+2sinθcosθ)=h(

1-cos2θ

2

+sin2θ)=

h

2

(1-cos2θ+2sin2θ)
令tanφ=

1

2

，则xAC=

h

2

[1+

5

sin(2θ-φ)]，
显然当θ=

π

4

+

φ

2

时，x_AC有最大值为xm=

5 +1

2

h
此时  r=hsin2θ=h

1-cos( π 2 +φ)

2

=

1+sinφ

2

h=

5+ 5

10

h
答：（1）滑块经B点时的速度大小为vB=

2gR

．
（2）滑块经B点时对轨道的压力为3mg．
（3）A点到滑块落地点的水平距离最大是xm=

5 +1

2

h，此时圆弧轨道的半径是r=

5+ 5

10

h．