如图所示半径为R、r（R＞r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，

题型：不详难度：来源：

如图所示半径为R、r（R＞r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑．
（1）求小球经过甲圆形轨道的最高点时小球的速度？
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象．试设计CD段的长度．

答案

（1）设小球能通过甲轨道最高点时速度为v₁．
由机械能守恒定律得：mgh=mg.2R+

1

2

mv12   
解得v1=

2gR

 
故小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度为

2gR

．
（2）小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为 vmin=

gR

∵v1=

2gR

＞

gR

∴小球能通过甲轨道而不撞轨
设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为v2=

gr

小球要通过乙轨道最高点，根据动能定理得：mg(3R-2r)-μmgx=

1

2

mv22 解得：x=

6R-5r

2μ

所以x≤

6R-5r

2μ

．
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，根据动能定理得：mg（3R-r）-μmgx=0   解得：x=

3R-r

μ

．
小球到乙轨的最低点速度恰好速度为0，根据动能定理得：mg3R-μmgx=0    解得：x=

3R

μ

所以

3R-r

μ

≤x＜

3R

μ

故CD的长度x≤

6R-5r

2μ

或

3R-r

μ

≤x＜

3R

μ

．