如图甲，ABC为竖直放置的半径为0.1m的半圆形轨道，在轨道的最低点和最高点A、C各安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧，通过这两点时对轨道的压力FA和F

题型：昆山市模拟难度：来源：

如图甲，ABC为竖直放置的半径为0.1m的半圆形轨道，在轨道的最低点和最高点A、C各安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧，通过这两点时对轨道的压力F_A和F_C．质量为0.1kg的小球，以不同的初速度v冲入ABC轨道．（g取10m/s²）
（1）若F_C和F_A的关系图线如图乙所示，求：当F_A=13N时小球滑经A点时的速度v_A，以及小球由A滑至C的过程中损失的机械能；
（2）若轨道ABC光滑，小球均能通过C点．试推导F_C随F_A变化的关系式，并在图丙中画出其图线．

答案

（1）由牛顿第三定律可知，小球在A、C两点所受轨道的弹力大小N_A=F_A，N_C=F_C
在A点，由牛顿第二定律得：NA-mg=

m v 2A

R

…①
解得vA=2

3

m/s…②
在C点，由牛顿第二定律得：NC+mg=

m v 2C

R

…③
对A至C的过程，由动能定理得：Wf-mg•2R=

1

2

m

v

2C

-

1

2

m

v

2A

…④
①②③联立得Wf=

1

2

m

v

2C

-

1

2

m

v

2A

+2mgR=

1

2

(2mg-FA+FC)R+2mgR…⑤
解得W_f=-0.2J…⑥
故损失的机械能为0.2J
（2）因轨道光滑，小球由A至C的过程中机械能守恒，则有 

1

2

m

v

2A

=

1

2

m

v

2C

+mg•2R…⑦
联立①③⑥得N_A-N_C=6mg
即F_C=F_A-6N…⑧
图线如右图所示…⑨
答：（1）当F_A=13N时小球滑经A点时的速度v_A为2

3

m/s，小球由A滑至C的过程中损失的机械能是0.2J；
（2）F_C随F_A变化的关系式为F_C=F_A-6N，在图丙中画出其图线如图所示．