图示为宇宙中一恒星系的示意图,A为该星系的一颗行星,它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆.已知引力常量为G,天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R0,周期为T0(

图示为宇宙中一恒星系的示意图,A为该星系的一颗行星,它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆.已知引力常量为G,天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R0,周期为T0(

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图示为宇宙中一恒星系的示意图,A为该星系的一颗行星,它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆.已知引力常量为G,天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R0,周期为T0
(1)中央恒星O的质量是多大?
(2)长期观测发现A行星每隔t0时间其运行轨道便会偏离理论轨道少许,天文学家认为出现这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行的圆轨道与A在同一平面内,且与A的绕行方向相同).根据上述现象和假设,试估箅未知行星B的运动周期和轨道半径.魔方格
答案
(1)设中央恒星质量为M,A行星质量为m,
由万有引力提供向心力得:G
Mm
R20
=m
4π2
T20
R0

解得:M=
4π2
R30
G
T20

故中央恒星O的质量为
4π2
R30
G
T20

(2)由题意可知:A、B相距最近时,B对A的影响最大,且每隔时间t0发生一次最大的偏离,说明A、B相距最近,设B行星的周期为T,则有:
(
T0
-
T
)t0=2π

解得:T=
t0T0
t0-T0

据开普勒第三定律:
R3
R30
=
T2
T20

得:R=
3(
t0
t0-T0
)
2

R0
故未知行星B的运动周期为
t0T0
t0-T0
,轨道半径为
3(
t0
t0-T0
)
2

R0
举一反三
如图所示,直角坐标系xoy所决定的平面内,在平行于x轴的虚线MN上方、x<0的区域存在着沿x轴正方向的匀强电场;在x>0的某区域存在方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出).现有一比荷k=
q
m
=102C/kg的带正电粒子从虚线MN上的P处,以大小υ0=20m/s、方向平行于y轴的初速度射入电场,并恰好从原点O处射出,射出时的速度大小υ=40m/s,此后粒子先做匀速运动,然后进入圆形有界磁场,粒子从磁场中射出时,出射点为Q且射出时的速度方向沿y轴负方向.已知磁场的磁感应强度B=1.2T,不计粒子的重力,忽略粒子运动对电场、磁场的影响.求:
(1)粒子从O点射出时速度υ与y轴间的夹角θ.
(2)P、O两点间的电势差U.
(3)Q点的横坐标x.
(4)圆形有界匀强磁场的最小面积S.魔方格
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如图所示,一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动,转台上有一个质量为m的物体,物体与转台问用长L的绳连接着,此时物体与转台处于相对静止,设物体与转台间的动摩擦因数为μ,现突然制动转台,则(  )
A.由于惯性和摩擦力,物体将以O为圆心、L为半径做变速圆周运动,直到停止
B.若物体在转台上运动一周,物体克服摩擦力做的功为2πμmgL
C.若物体在转台上运动一周,摩擦力对物体不做功
D.物体在转台上运动
Lω2
4μgπ
生圈后停止运动
魔方格
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如图所示,一小球质量为m,用长为L的细线悬于O点,在O点正下方
1
2
L
处钉有一根长钉.把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放,当悬线碰到钉子的瞬时(  )
A.小球的线速度突然增大
B.悬线的拉力突然增大
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球的角速度突然增大
魔方格
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如图所示,A、B两球质量相等,且由轻质细杆连着,绕O点在光滑的水平面上以相同的角速度做匀速圆周运动,OB=BA,则(  )
A.两段杆的拉力之比:TAB:TOB=2:1
B.两段杆的拉力之比:TAB:TOB=3:2
C.两段杆的拉力之比:TAB:TOB=1:2
D.两段杆的拉力之比:TAB:TOB=2:3
魔方格
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如图所示,圆心在O点,半径为R=0.24m的圆弧形支架abc竖直固定在水平桌面上,支架最低点a与桌面相切,最高点c与O点的连线Oc与Oa夹角为60°.一轻绳两端系着质量分别为m1和m2的小球A和B(均可视为质点),挂在圆弧边缘c的两边.开始时,A、B均静止,A的位置与c点等高,不计一切摩擦,连线和水平桌面足够长,g=10m/s2
(1)为使A能沿圆弧下滑到a点,m1与m2之间必须满足什么关系?
(2)若m1=3m2,求A到达圆弧最低点a时,A的速度大小.
(3)若m1=3m2,求B能上升的最大高度.魔方格
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