图示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆．已知引力常量为G，天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R0，周期为T0（

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图示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆．已知引力常量为G，天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R₀，周期为T₀
（1）中央恒星O的质量是多大？
（2）长期观测发现A行星每隔t₀时间其运行轨道便会偏离理论轨道少许，天文学家认为出现这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行的圆轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同）．根据上述现象和假设，试估箅未知行星B的运动周期和轨道半径．魔方格

答案

（1）设中央恒星质量为M，A行星质量为m，
由万有引力提供向心力得：G

4π2

R0
解得：M=

4π2

故中央恒星O的质量为

4π2

．
（2）由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t₀发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为T，则有：
(

2π

)t0=2π
解得：T=

t0T0

t0-T0

据开普勒第三定律：

得：R=

(

t0-T0

R₀
故未知行星B的运动周期为

t0T0

t0-T0

，轨道半径为

(

t0-T0

R₀．

举一反三

如图所示，直角坐标系xoy所决定的平面内，在平行于x轴的虚线MN上方、x＜0的区域存在着沿x轴正方向的匀强电场；在x＞0的某区域存在方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出）．现有一比荷k=

=10²C/kg的带正电粒子从虚线MN上的P处，以大小υ₀=20m/s、方向平行于y轴的初速度射入电场，并恰好从原点O处射出，射出时的速度大小υ=40m/s，此后粒子先做匀速运动，然后进入圆形有界磁场，粒子从磁场中射出时，出射点为Q且射出时的速度方向沿y轴负方向．已知磁场的磁感应强度B=1.2T，不计粒子的重力，忽略粒子运动对电场、磁场的影响．求：
（1）粒子从O点射出时速度υ与y轴间的夹角θ．
（2）P、O两点间的电势差U．
（3）Q点的横坐标x．
（4）圆形有界匀强磁场的最小面积S．魔方格

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如图所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一个质量为m的物体，物体与转台问用长L的绳连接着，此时物体与转台处于相对静止，设物体与转台间的动摩擦因数为μ，现突然制动转台，则（　　）

A．由于惯性和摩擦力，物体将以O为圆心、L为半径做变速圆周运动，直到停止

B．若物体在转台上运动一周，物体克服摩擦力做的功为2πμmgL

C．若物体在转台上运动一周，摩擦力对物体不做功

D．物体在转台上运动

Lω2

4μgπ

生圈后停止运动

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如图所示，一小球质量为m，用长为L的细线悬于O点，在O点正下方

L处钉有一根长钉．把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子的瞬时（　　）

A．小球的线速度突然增大

B．悬线的拉力突然增大

C．小球的向心加速度突然增大

D．小球的角速度突然增大

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如图所示，A、B两球质量相等，且由轻质细杆连着，绕O点在光滑的水平面上以相同的角速度做匀速圆周运动，OB=BA，则（　　）

A．两段杆的拉力之比：T_AB：T_OB=2：1

B．两段杆的拉力之比：T_AB：T_OB=3：2

C．两段杆的拉力之比：T_AB：T_OB=1：2

D．两段杆的拉力之比：T_AB：T_OB=2：3

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如图所示，圆心在O点，半径为R=0.24m的圆弧形支架abc竖直固定在水平桌面上，支架最低点a与桌面相切，最高点c与O点的连线Oc与Oa夹角为60°．一轻绳两端系着质量分别为m₁和m₂的小球A和B（均可视为质点），挂在圆弧边缘c的两边．开始时，A、B均静止，A的位置与c点等高，不计一切摩擦，连线和水平桌面足够长，g=10m/s²．
（1）为使A能沿圆弧下滑到a点，m₁与m₂之间必须满足什么关系？
（2）若m₁=3m₂，求A到达圆弧最低点a时，A的速度大小．
（3）若m₁=3m₂，求B能上升的最大高度．魔方格

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