如图所示,光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道,在离B距离为x的A点,用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力,质点沿半圆轨道运

如图所示,光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道,在离B距离为x的A点,用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力,质点沿半圆轨道运

题型:河西区模拟难度:来源:
如图所示,光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道,在离B距离为x的A点,用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力,质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点:
(1)求推力对小球所做的功.
(2)x取何值时,完成上述运动所做的功最少?最小功为多少.
(3)x取何值时,完成上述运动用力最小?最小力为多少.魔方格
答案
(1)由题意,质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点,设质点在C点的速度为vC,质点从C点运动到A点所用的时间为t,则
在水平方向:x=vCt     ①
竖直方向上:2R=
1
2
gt2
解①②有   vC=
x
2


g
R
  ③
对质点从A到C,由动能定理有
  WF-mg•2R=
1
2
m
v2C
  ④
解得  WF=
mg(16R2+x2)
8R
     ⑤
(2)要使F力做功最少,确定x的取值,由④式得 WF=mg•2R+
1
2
m
v2C
,则知,只要质点在C点速度最小,则功WF就最小.
若质点恰好能通过C点,其在C点最小速度为v,
由牛顿第二定律有
  mg=
mυ2
R
,则  v=


Rg
  ⑥
由③⑥有
x
2


g
R
=


Rg
,解得x=2R时,WF最小,最小的功WF=mg•2R+
1
2
m
v2C
=
5
2
mgR.                       
(3)由⑤式WF=mg(
16R2+x2
8R
),W=Fx
则得  F=
1
8
mg(
16R
x
+
x
R
)                                                      
16R
x
>0,x>0,
由极值不等式有
16R
x
=
x
R
时,即x=4R时,
16R
x
+
x
R
=8,最小的力F=mg.                       
答:(1)推力对小球所做的功是
mg(16R2+x2)
8R

(2)x等于2R时,完成上述运动所做的功最少,最小功为
5
2
mgR.
(3)x取4R时,完成上述运动用力最小,最小力为mg.
举一反三
一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上端边缘由静止下滑,当滑到半球底部时,半圆轨道底部所受压力为铁块重力的1.8倍,则此下滑过程中铁块损失的机械能为(  )
A.0.2mgRB.0.4mgRC.0.6mgRD.0.8mgR
魔方格
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经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究,使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识.双星系统由两个星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远,可以当作孤立系统来处理.现根据对某一双星系统的光度学测量确定:该双星系统中每个星体的质量都是m,两者相距L,它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动.
(1)试计算该双星系统的运动周期T计算
(2)若实际上观测到的运动周期为T观测,且T观测:T计算=1:


N
(N>1).为了解释T观测与T计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化模型,我们假定在以这两个星体连线的中点为圆心、
L
4
为半径的一个球体内均匀分布着这种暗物质.若不考虑其他暗物质的影响,请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.(球的体积V=
4
3
πr3
,式中r为球半径)
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如图所示,斜面AB与竖直半圆轨道在B点圆滑相连,斜面倾角为θ=45°,半圆轨道的半径为R,一小球从斜面的顶点A由静止开始下滑,进入半圆轨道,最后落到斜面上,不计一切摩擦.试球:(结果可保留根号).
(1)欲使小球能通过半圆轨道最高点C,落到斜面上,斜面AB的长度L至少为多大?
(2)在上述最小L的条件下,小球从A点由静止开始运动,最后落到斜面上的落点与半圆轨道直径BC的距离,x为多大?魔方格
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如图所示,有一水平放置的绝缘光滑圆槽,圆半径为R,处在一水平向右且与圆槽直径AB平行的匀强电场中,场强为E.圆槽内有一质量为m,带电量为+q的小球作圆周运动,运动到A点时速度大小为v,则到达B点时小球的向心加速度大小为______;小球对圆槽的作用力的方向是______.魔方格
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用长为L的细线系一个质量为m的小球(小球可以视为质点),线的一端固定在空间的O点.先将小球拉至图中的P位置,使OP水平,然后无初速释放小球.当小球绕O点转动150°到达Q位置时,细线碰到了一个固定的细钉子M,此后小球开始绕M做圆周运动.已知OM的长度是
4L
5
,求:
(1)小球到达O点正下方的S点时细线对小球的拉力F1多大?
(2)小球到达Q位置时的速度v1多大?
(3)小球通过最高点N时细线对小球的拉力F2是多大?魔方格
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