如图所示，在空间中有一坐标系oxy，其第一象限中充满着两个方向不同的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ．直线OP是它们的边界．区域Ⅰ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内，区域

题型：不详难度：来源：

如图所示，在空间中有一坐标系oxy，其第一象限中充满着两个方向不同的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ．直线OP是它们的边界．区域Ⅰ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内，区域Ⅱ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，边界上的P点坐标为（3L，3L）．一质量为m，电荷量为+q的粒子从P点平行于y轴正方向以速度v₀=

2BqL

m

射入区域Ⅰ，经区域Ⅰ偏转后进入区域Ⅱ（忽略粒子重力），求：
（1）粒子在Ⅰ和Ⅱ两磁场中做圆周运动的半径之比；
（2）粒子在磁场中运动的总时间及离开磁场的位置坐标．

答案

（1）带电粒子射入磁场中，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得


    qvB=m

v2

R

  ①
解得 R=

mv

qB

    ②
所以，粒子在Ⅰ和Ⅱ两磁场中做圆周运动的半径分别为：R₁=

mv0

2qB

，R₂=

mv0

qB

    ③
解得

R1

R2

=

1

2

    ④
（2）粒子在磁场中圆周运动的周期为T=

2πm

qB

   ⑤
可得 T1=

πm

qB

，T2=

2πm

qB

            ⑥
粒子在区域Ⅰ中转过的圆心角为θ₁=

3

2

π    ⑦
粒子在区域Ⅰ中运动的时间为t1=

θ1

2π

T1   ⑧
解得t1=

3πm

4qB

      ⑨
粒子在区域Ⅱ中转过的圆心角为θ2=

π

2

       ⑩
粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t2=

θ2

2π

T2     （11）
解得t2=

πm

2qB

            （12）
所以t=t₁+t₂=

5πm

4qB

      （13）
将速度v₀=

2BqL

m

代入得
  R₁=L，R₂=2L       （14）
由几何关系得

.

OO2

=3L-R1，

.

O2M

=R2               （15）
粒子离开磁场的横坐标为x=

.

OO2

+

.

O2M

=4L      （16）
粒子离开磁场的位置坐标（4L，0）（17）
答：（1）粒子在Ⅰ和Ⅱ两磁场中做圆周运动的半径之比是1：2；
（2）粒子在磁场中运动的总时间是

5πm

4qB

，离开磁场的位置坐标是（4L，0）．