人造地球卫星绕地球旋转时,既具有动能又具有引力势能(引力势能实际上是卫星与地球共有的,简略地说此势能是人造卫星所具有的).设地球的质量为M,以卫星离地还需无限远

人造地球卫星绕地球旋转时,既具有动能又具有引力势能(引力势能实际上是卫星与地球共有的,简略地说此势能是人造卫星所具有的).设地球的质量为M,以卫星离地还需无限远

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人造地球卫星绕地球旋转时,既具有动能又具有引力势能(引力势能实际上是卫星与地球共有的,简略地说此势能是人造卫星所具有的).设地球的质量为M,以卫星离地还需无限远处时的引力势能为零,则质量为m的人造卫星在距离地心为r处时的引力势能为Ep=-
GMm
r
(G为万有引力常量).
(1)试证明:在大气层外任一轨道上绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所具有的机械能的绝对值恰好等于其动能.
(2)当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时,物体就可以挣脱地球引力的束缚,成为绕太阳运动的人造卫星,这个速度叫做第二宇宙速度.用R表示地球的半径,M表示地球的质量,G表示万有引力常量.试写出第二宇宙速度的表达式.
答案
(1)设卫星在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的速度为v,地球的质量为M,
卫星的质量为m.有万有引力提供卫星做圆周运动的向心力:G
Mm
r2
=
mv2
r

所以,人造卫星的动能:Ek=
1
2
mv2=
1
2
GMm
R

卫星在轨道上具有的引力势能为:Ep=-
GMm
r

卫星的机械能为:E=Ek+Ep=
1
2
GMm
r
-
GMm
r
=-
1
2
GMm
r

所以:|E|=|-
1
2
GMm
r
|=
1
2
GMm
r
=Ek
(2)设物体在地球表面的速度为v2,当它脱离地球的引力时r→∞,
此时速度为零,由机械能守恒定律可得:
1
2
mv22-
GMm
R
=0,解得v2=


2GM
R

答:(1)证明过程如上所述;(2)第二宇宙速度的表达式是v2=


2GM
R
举一反三
某宇宙飞船中的宇航员的质量是60kg,起飞阶段向上的加速度是30m/s2,宇航员对坐椅向下的压力为______N;重返大气层阶段飞船以5m/s2的加速度向下做减速运动,字航员对坐椅向下的压力为______N.(g=10m/s2
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如图所示,某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行.它的近日点A离太阳的距离为a,行星经过近日点时的速率为va,行星的远日点B离太阳的距离为b,求它经过远日点时速度的大小是(  )
A.vb=
b
a
va
B.vb=


a
b
va
C.vb=
a
b
va
D.vb=


b
a
va
魔方格
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科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星,经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次(即距离最近),已知地球绕太阳公转半径是R,周期是T,设地球和小行星都是圆轨道,且在同一平面同向转动,求小行星与地球的最近距离.
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一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行,要测定该行星的平均密度,仅仅需要(  )
A.测定飞船的运行周期B.测定飞船的环绕半径
C.测定行星的体积D.测定飞船的运行速度
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已知地球半径R=6400km,地球表面的重力加速度g=10m/s2,不考虑地球自转的影响.求:
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式,并计算其数值;
(2)若地球自转周期T=24h,计算地球同步卫星距离地面的高度h;
(3)若已知万有引力常量G=6.7×10-11N•m2/kg2,估算地球的平均密度ρ.(以上计算结果保留一位有效数字)
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