水平固定的两根足够长的平行光滑杆AB和CD，两杆之间的距离为d，两杆上各穿有质量分别为m1=1kg和m2=2kg的小球，两小球之间用一轻质弹簧连接，弹簧的自由长

题型：不详难度：来源：

水平固定的两根足够长的平行光滑杆AB和CD，两杆之间的距离为d，两杆上各穿有质量分别为m₁=1kg和m₂=2kg的小球，两小球之间用一轻质弹簧连接，弹簧的自由长度也为d．开始时，弹簧处于自然伸长状态，两小球静止，如图（a）所示．现给小球m₁一沿杆向右方向的瞬时初速度，以向右为速度的正方向，得到m₁的v-t图象为如图（b）所示的周期性图线（以小球m₁获得瞬时速度开始计时）．



（1）求出在以后的过程中m₂的速度范围；    
（2）在图（b）中作出小球m₂的v-t图象；
（3）若在光滑杆上小球m₂右侧较远处还穿有另一质量为m₃=3kg的小球，该小球在某一时刻开始向左匀速运动，速率为v=4m/s，它将遇到小球m₂并与m₂结合在一起运动，求：在以后的过程中，弹簧弹性势能的最大值的范围？

答案

（1）以m₁=1kg和m₂=2kg组成的系统在相互作用过程中，水平方向动量守恒，所以
m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
解得：v₂=

v0-v1

2

当v₁=6m/s时v₂=0
当v₁=2m/s时v₂=2m/s
当v₁=-2m/s时v₂=4m/s
所以m₂的速度范围是0≤v₂≤4m/s
（2）所以一个周期内m₂球的v-t图象如图所示：


（3）设m₂和m₃碰撞后的速度是v₂₃
  m₂v₂-m₃v=（m₂+m₃）v₂₃
设m₂和m₃碰撞过程中机械能损失△E
△E=

1

2

m3v2+

1

2

m2v22-

1

2

（m₂+m₃）

v

223

解得：△E=

3(v2+4)2

5

当v₂=0，损失的机械能最小，△E_min=9.6J
当v₂=4，损失的机械能最大，△E_max=38.4J   
当三个球的速度相同时，弹性势能最大，
根据动量守恒得m₁v₀-m₃v=（m₁+m₂+m₃）v_共
解得：v_共=-1m/s
整个相同具有的总机械能E_总=

1

2

m1v02+

1

2

m3v 2
设弹簧弹性势能的最大值是E_p，对全过程应用能量守恒定律得：
E_总=

1

2

（m₁+m₂+m₃）v共2+△E+E_p
弹簧弹性势能的最大值E_p=39-△E
弹簧弹性势能的最大值的范围是0.6J～29.4J
答：（1）m₂的速度范围是0≤v₂≤4m/s
（2）如图
（3）弹簧弹性势能的最大值的范围是0.6J～29.4J