如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平长直杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ．现给环一个向右的初速度v0，同时对环施加一个竖直向上的作用力F，并使F的大小随

题型：嘉定区二模难度：来源：

如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平长直杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ．现给环一个向右的初速度v₀，同时对环施加一个竖直向上的作用力F，并使F的大小随v的大小变化，两者关系为F=kv，其中k为常数，则环在运动过程中克服摩擦所做的功大小可能为（　　）

A． 1 2 mv02	B．0
C． 1 2 mv02+ m3g2 2k2	D． 1 2 mv02- m3g2 2k2

答案

根据题意有对于小环的运动，根据环受竖直向上的拉力F与重力mg的大小分以下三种情况讨论：
（1）当mg=kv₀时，即v₀=

mg

k

时，环做匀速运动，摩擦力为零，W_f=0，环克服摩擦力所做的功为零；
（2）当mg＞kv₀时，即v₀＜

mg

k

时，环在运动过程中做减速运动，直至静止．由动能定理得环克服摩擦力所做的功为W_f=

1

2

m

v

20

；
（3）当mg＜kv₀时，即v₀＞

mg

k

时，环在运动过程中先做减速运动，当速度减小至满足mg=kv时，即v=

mg

k

时环开始做匀速运动．由动能定理得摩擦力做的功
W_f=

1

2

mv²-

1

2

m

v

20

=

m3g2

2k2

-

1

2

m

v

20

，
即环克服摩擦力所做的功为

1

2

m

v

20

-

m3g2

2k2

．
故选ABD