如图所示，质量为m的小球自由下落高度为R后沿竖直平面内的轨道ABC运动．AB是半径为R的1/4粗糙圆弧，BC是直径为R的光滑半圆弧，小球运动到C时对轨道的压力恰

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如图所示，质量为m的小球自由下落高度为R后沿竖直平面内的轨道ABC运动．AB是半径为R的1/4粗糙圆弧，BC是直径为R的光滑半圆弧，小球运动到C时对轨道的压力恰为零．B是轨道最低点．求：
（1）小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功．
（2）小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比．
（3）小球离开C点后竖直下落多少高度才能撞上圆轨道？

答案

（1）小球在C点：根据牛顿第二定律得
mg=m

v 2c

R 2

小球由静止释放到C点过程，据动能定理得
mgR+W_f=

1

2

mv_C²
联立解得W_f=-

3

4

mgR
（2）小球由静止释放到B点过程，据动能定理得
2mgR+W_f=

1

2

mv_B²
在B点前瞬间据牛顿第二定律得
F_N前-mg=m

v 2B

R

在B点后瞬间据牛顿第二定律得
F_N后-mg=m

v 2B

R 2

由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力大小．
联立解得 F_N前：F _N后=7：12
（3）小球离开C点后做平抛运动，合位移等于半径，根据平抛运动的分位移公式，有：
x=v_ct
y=

1

2

gt2
R²=x²+y²
联列解得：y=

5 -1

2

R≈0.618R
答：（1）小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功为-

3

4

mgR．
（2）小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比为7：12．
（3）小球离开C点后竖直下落0.618R的高度才能撞上圆轨道．