如图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相

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如图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t₀时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

答案

解：（1）初速度沿y轴的正方向的粒子在磁场中的运动轨迹如图1所示：粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过，作OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心C，在直角三角形中有
解得，
则粒子做圆周运动的的圆心角为120°，周期为T=3t₀
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得，
化简得
（2）依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同。在t₀时刻仍在磁场内的粒子应位于以O为圆心、OP为半径的弧MN上，如图2所示：设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为v_P、v_M、v_N。由对称性可知：v_P与OP、v_M与OM、v_N与ON的夹角均为60°，设v_M、v_N与y轴的夹角分别为θ_M、θ_N，由几何关系有：θ_M=60°，θ_N=120°
对于所有此时刻仍在磁场内的粒子，其初速度与y轴的正方向的夹角范围应满足60°≤θ≤120°
（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，其轨迹如图3所示：在三角形OO"E中，两个相等的腰为
而它的高是
半径O"E与y轴的的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°，所用时间为2t₀
所以从粒子发射到全部离开所用时间为2t₀