已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
题目
已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
若x∈[0,2]时,函数g(x)=f(x)+f '(x)在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
若x∈[0,2]时,函数g(x)=f(x)+f '(x)在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
答案
(I)∵f(x)=ax3-3x2,∴f'(x)=3ax2-6x,
∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f'(1)=3a-6=0,
∴a=2.
(II)g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x(a>0)
g'(x)=3ax2+6(a-1)x-6,△=36(a-1)2+72a=36(a2+1),
∴f'(x)=0有两个实根,设这两个实根为x1,x2,
则 x1x2=-2a<0,
设x1<0<x2,当0<x2<2时,g(x2)为极小值,
所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2)
当x2≥2时,g(x)在[0,2]上单调递减,g(x)的最大值为g(0),
所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2),
又已知g(x)在x=0处取得最大值,所以g(0)≥g(2),
即 0≥20a-24,解得a≤65,∴ 0<a≤65
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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