证明tanx+1/cosx=tan(x/2+π/4)

题目

证明tanx+1/cosx=tan(x/2+π/4)
谢谢啦

答案

在电脑上为书写方便,我改证等价命题
tan2x+(1/cos2x)=tan(x+45°)
而由公式
tan2x=2t/(1-t^2),t=tanx
cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2
=[(cosx)^2-(sinx)^2]/[(cosx)^2+(sinx)^2],上下同除以(cosx)^2得
=(1-t^2)/(1+t^2)
故tan2x+(1/cos2x)
=[(t+1)^2]/(1-t^2)
=(t+1)/(1-t)
而tan(x+45°)
=(tanx+tan45°)/(1-tanxtan45°)
=(t+1)/(1-t)=tanx+(1/cosx)
故原式成立