求证:定义域为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和的行式.

求证:定义域为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和的行式.

题目
求证:定义域为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和的行式.
答案
设函数为f(x),考虑到定义域关于原点对称,令
p(x)=[f(x)+f(-x)]/2
q(x)=[f(x)-f(-x)]/2
易证p(x)为偶函数,q(x)为奇函数.
显然f(x)=p(x)+q(x)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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