在已知三角形ABC所在的平面上存在一点P,是他倒三角形则称三个顶点的距离之和最小

题目

在已知三角形ABC所在的平面上存在一点P,是他倒三角形则称三个顶点的距离之和最小
(1)阅读理解：
①如图1,在△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2,若四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上,则有AB•CD＋BC•AD＝AC•BD．此为托勒密定理．
(2)知识迁移：
①请你利用托勒密定理,
如图3,已知点P为等边△ABC外接圆的BC⌒上任意一点．求证：PB＋PC＝PA．
②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图4,在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在BC⌒上取一点P0,连接P0A、P0B、P0C、P0D．
易知P0A＋P0B＋P0C＝P0A＋(P0B＋P0C)＝P0A＋ ；
第三步：请你根据(1)①中定义,在图4中找出△ABC的费马点P,线段 的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用：
2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难．为解决老百姓饮水问题,解放军某部到云南某地打井取水．
已知三村庄A、B、C构成了如图5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º),现选取一点P打水井,使水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．

答案

（2）①证明：由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB=PA•BC ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC,∴PB+PC=PA,②P′D、AD,如图,以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD,连接AD,则知线段AD的长即为△ABC的费马距离． ∵△BCD为等边三角形,BC=4,∴∠CBD=60°,BD=BC=4,∵∠ABC=30°,∴∠ABD=90°,在Rt△ABD中,∵AB=3,BD=4,∴AD= ABx092 + BDx092 = 3x092 + 4x092 =5（km）,∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．