设抛物线x^2=-4y的准线与y轴的焦点为C,过点C作直线l交抛物线A、B两点,求线段AB中点M的轨迹方程.

题目

设抛物线x^2=-4y的准线与y轴的焦点为C,过点C作直线l交抛物线A、B两点,求线段AB中点M的轨迹方程.
即有,X^2=-8Y+8.怎么得出？

答案

x^2=-4y,-4=-2p,
p=2,
则抛物线x^2=-4y的准线方程为Y=2/2=1.
则点C的坐标为(0,1),
令,直线AB的方程为Y=KX+1,有
X^2+4KX+4=0,
X1+X2=-4K,
Y^2+(4K^2-2)Y+1=0,
Y1+Y2=-(4K^2-2).
令,线段AB中点M的坐标为(X,Y).
X=(X1+X2)=-4K,
Y=(Y1+Y2)/2=1-2K^2.
就是把X=-4K,中的K,(K=-X/4),代入Y=1-2K^2中,消去参数K,就是下面的方程.
即有,X^2=-8Y+8.
线段AB中点M的轨迹方程为:X^2=-8Y+8.