若α,β∈(0,2/π).cos(α-β/2）=√3/2,sin(α/2-β)=-1/2.则cos(α+β)等于多少?

题目

若α,β∈(0,2/π).cos(α-β/2）=√3/2,sin(α/2-β)=-1/2.则cos(α+β)等于多少?

答案

cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]
又∵cos(2α-β)=cos2(α-β/2）
sin(α-2β)=sin2(α/2-β)
∴此题利用倍角公式及三角函数值在各象限内的正负来解
cos(α+β)
=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
cos(2α-β)=2cos²(α-β/2）-1=1/2
sin(2α-β)=√3/2（2α-β∈(0,π/2)在第二象限,∴sin(2α-β)为正）
∵sin(α/2-β)=-1/2（α/2-β∈(-π/4,0)在第四象限,∴cos(α/2-β)为正）
∴cos(α/2-β)=√3/2
∴sin(α-2β)=2sin(α/2-β)cos(α/2-β)=2*(-1/2)*(√3/2)=-√3/2
cos(α-2β)=1/2（α-2β∈(-π/2,0)在第四象限,∴cos(α-2β)为正）
∴cos(α+β)
=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=(1/2)*(1/2)+(√3/2)(-√3/2)
=-1/2
倍角公式：
sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα/(1-tan²(α))
cos2α=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
sina在一二象限为+,在三四象限为-
cosa在一四象限为+,在二三象限为-
tga、ctga在一三象限为+,在二四象限为-