用拉格朗日中值定理证明

题目

用拉格朗日中值定理证明
设函数f（x）在闭区间[0,1]上可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意α﹢β=1的正数α、β,存在相异两点ξ、η∈﹙0,1﹚使αf'(ξ)+βf'(η)=1

答案

有中值定理,存在ξ,使得f(α)-f(0)=α f'(ξ) ;存在η,使得f(1)-f(α)=(1-α)f'(η)=βf'(η)
两式相加得 αf'(ξ)+βf'(η)=f(1)-f(0)=1