设有两个命题:p:关于x的不等式x²+2ax+4>0对任意x∈R恒成立;
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设有两个命题:p:关于x的不等式x²+2ax+4>0对任意x∈R恒成立;
题目
设有两个命题:p:关于x的不等式x²+2ax+4>0对任意x∈R恒成立;
q:函数f(x)=-(5-2a)ˆx是减函数.若以上命题有且只有一个真命题,求实数a的取值范围.
答案
1、若p真:4a²-16<0,a²<4,则-2
此时q假:f(x)=-(5-2a)ˆx 为非减函数,此函数是减函数的条件是5-2a>1,得a>2,不是减函数的条件是a<=2,但为保证有意义需要5-2a>0,综上取公共部分,-2
2、若q真:5-2a>1,则a>2,此时前一个式子必然为假.
最终将以上两种情况全取得:当a在(-2,2)并(2,正无穷)时,p,q有且仅有一个真命题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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