证明log以2为底n的对数

题目

证明log以2为底n的对数
已知n属于Z, log以2为底n的对数是有理数
证明 log以2为底n的对数 是整数
希望能说的详细些

答案

显然对数只有对正整数有定义.n=1,显而易见.
对于正整数n>1,存在奇数m,以及非负整数k,使得n=m×2^k,如果log2(n)是有理数,n>1,那么一定是某个正有理数p/q,也就是log2(n)=p/q,p,q都是正整数
所以,2^（p/q)=m×2^k,所以2^p=m^q×2^（kq）左边不含有大于1的奇数因数,如果m是大于1的奇数,这是不可能的,所以m＝1,所以p=kq,所以p/q是整数k,证明完毕.