已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式; (2)若函数f(x)的最大值不小于8,求实数a的取
题目
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)的最大值不小于8,求实数a的取值范围.
答案
设f(x)=ax
2+bx+c,
则f(x)>2x⇔ax
2+(b-2)x+c>0.
已知其解集为(1,3),
∴
∴f(x)=ax
2+(2-4a)x+3a.
(1)若f(x)+6a=0有两个相等的根,
故ax
2-(4a-2)x+9a=0,
△=4+16a
2-16a-36a
2=0,
解得a=-1或
(舍去正值),
∴a=-1即f(x)=-x
2+6x-3;
(2)由以上可知f(x)=a(x-
)
2+
,
∴f(x)
max=
≥8,
得a
2-4a+1≥-8a⇔a
2+4a+1≥0,
解得a≥-2+
或a≤-2-
又∵a<0,
∴a的取值范围是(-∞,-2-
)∪[-2+
,0).
(1)设出二次函数f(x)的一般式,根据不等式的解即为方程的根,求出a,b,c的关系式,再根据方程有两相等的实根的条件:判别式为0,解出a,从而得出函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)配方,求出函数f(x)的最大值,再解不等式,注意a<0.
二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法.
本题考查了二次函数的解析式的求法:待定系数法,同时考查二次方程根与系数的关系以及二次不等式的解法,二次函数的最值及应用,考查运算能力,是一道好题.
举一反三
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