若方程3sinx+cosx=a在[0，2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1+x2的值．

题目

若方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有两个不同的实数解x₁、x₂，求a的取值范围，并求x₁+x₂的值．

答案

设f（x）=3sinx+cosx=2sin（x+π6），x∈[0，2π]．令x+π6=t，则f（t）=2sint，且t∈[π6，13π6]在同一平面直角坐标系中作出y=2sint及y=a的图象，结合函数的图象可知当1＜a＜2和-2＜a＜1时，两图象有两个交点，即...

设函数y₁=

3

sinx+cosx，y₂=a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．

本题考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的应用及方程的根与函数的交点的相互转化，体现了数形结合思想的应用．