已知函数f(x)的定义域为R,且对一切实数x满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x) .若f(5)=9,则f(-5)=?

题目

已知函数f(x)的定义域为R,且对一切实数x满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x) .若f(5)=9,则f(-5)=?

答案

由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:
f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称.
∴ f(x)=f[(x－2)+2]
=f[2－(x－2)]=f(4－x)
=f[7－(3+x)]=f(7+(3+x))
=f(x+10)
∴f(x)是以10为周期的周期函数.
当x∈[16,17],x－10∈[6,7]
∴f(x)=f(x－10)=(x-10-2)^2=(x－12)^2
当x∈(17,20],x－20∈(-3,0],4－(x－20)∈[4,7)
∴f(x)=f(x－20)=f[4－(x－20)]
=f(24－x)=(x－22)^2
∴g(x)=2x-(x-12)^2 x∈[16,17]
g(x)=2x-(x-22)^2 x∈(17,20]
∵x∈[16,17]时,g(x)最大值为16,最小值为9；
x∈(17,20],g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36
∴g(x)的最大值为36,最小值为9.