有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13,则又成等差数列,求这四个数

题目

有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13,则又成等差数列,求这四个数

答案

设第一个数为m,公比为k,则这四个数分别为
m
mk
mk^2
mk^3
将这四个数分别减去1,1,4,13,组成的新数为
m-1
mk-1
mk^2-4
mk^3-13
他们成等差数列,则有
(mk^3-13)-(mk^2-4)=(mk^2-4)-(mk-1)=(mk-1)-(m-1)
化简得:
mk^3-mk^2-9=mk^2-mk-3=mk-m
mk^2-mk-3=mk-m
k(mk-m)-3=mk-m
(k-1)(mk-m)=3
m(k-1)(k-1)=3.公式A
mk^3-mk^2-9=mk-m
k^2(mk-m)-9=mk-m
m(k^2-1)(k-1)=9.公式B
把公式A代入公式B,得k+1=3,k=2,m=3
这四个数是
3
6
12
24