一道高中数学立体几何题,有点难

题目

一道高中数学立体几何题,有点难
设三棱柱的侧棱都垂直于底面,所有的棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为?（结果必须是π、a的平方、分数或整数这三者的乘积的形式）

答案

假定三棱柱 为 ABC－A‘B’C‘ ,球心为 O
考虑四面体OABC是一个正三棱锥,其底面ABC是正三角形,过O点的高为a/2,这是因为三棱柱ABC－A‘B’C‘的高即为其侧棱AA'＝a,考虑到两个四面体OABC和OA‘B’C‘是对称的,故四面体OABC的高OH＝a/2其中H是正三角形ABC的重心.
三角形OHA是个直角三角形,OH＝a/2,HA=a/√3(利用平面几何的知识),由勾股定理可以计算斜边OA＝a(√21)/6=R
球的表面积为S＝4π R^2=7πa^2/3