如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点坐标是M（1,2）,并且经过点（0,3）,抛物线与直线X＝2交于点P

题目

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点坐标是M（1,2）,并且经过点（0,3）,抛物线与直线X＝2交于点P
（1）求抛物线的解析式
（2）在直线X=2上取点A（2,5）,求△PAM的面积
（3）抛物线上是否存在点Q,使△QAM的面积与△PAM相等,求出点Q坐标
主要是第3小题,

答案

(1)
设抛物线方程y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/(4a)
x=1,y=2 x=0 y=3代入
-b/2a=1
(4ac-b^2)/4a=2
c=3
解之得a=1 b=-2 c=3
抛物线的解析式为y=x^2-2x+3
(2)
求P点坐标：令x=2 得y=4-4+3=3 P点坐标（2,3)
S△PAM=(5-3)*(2-1)/2=1
(3)实际就是问在抛物线上有没有一点和P点关于直线AM对称.
直线AM斜率：(2-5)/(1-2)=3
直线PQ斜率:-1/3
令直线PQ方程为：y=-x/3+b x=2,y=3代入
b=11/3
y=-x/3+11/3求其与y=x^2-2x+3的交点.
-x/3+11/3=x^2-2x+3
整理,得
3x^2-5x-2=0
(x-2)(3x+1)=0
x=2(舍去） x=-1/3,此时y=34/9
结论：存在这个点Q,坐标（-1/3,34/9)