几何公理三的推论的证明方法?

题目

几何公理三的推论的证明方法?
公理一:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上有的点都在该平面内.
公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
题知:直线a与b平行.
求证:经过它们的平面有且只有一个.
解:
点A再直线a上,再从直线b上截取B和C两点
既A、B、C为不共线三点.
根据公理三,经过A、B、C有且只有一个平面α.
因为B、C属于b
所以由公理一可知b属于α.
同理可得a属于α.
由此得公理三的第三推论成立 .
这个”同理可得a属于α. “,也跟上面的证明一样,在b上取d点,在a上取ef两个点,可是这三个点确定出来的可能是另一个面β啊?
另外,推论三的内容是：经过两条平行直线,有且只有一个平面；还是两条平行的直线确定一个平面?两者一个意思吗?

答案

你说的对,这里是不完全能用同理来证明的.
存在性和唯一性应该分开证明.
存在性用到(空间中)直线平行的定义,即两直线共面但无公共点.
所以过两条平行直线的平面是存在的.
唯一性用到公理三,因为过这两条直线的平面必需经过A,B,C这三个不共线的点.
所以过两条平行直线的平面至多只有一个.
综合两方面,经过两条平行直线的平面有且仅有一个.
因为这样的平面有且仅有一个,所以说确定了一个平面也没错,是一个意思.