设a>b>e,证明存在ξ∈(a,b),使b(e^a)-a(e^b)=(1-e^ξ)ξ(b-a)

题目

设a>b>e,证明存在ξ∈(a,b),使b(e^a)-a(e^b)=(1-e^ξ)ξ(b-a)

答案

题目有点问题.
例如对a = 3,b = 2.8,可算得(be^a-ae^b)/(b-a) = -34.5278...
但(1-e^x)x在[b,a]上的最大值(1-e^b)b = -43.2450...
因此不存在所要求的ξ.
可以证明存在η ∈ (b,a)使be^a-ae^b = (1-η)e^η(b-a).
考虑函数f(x) = e^x/x,g(x) = 1/x.
可知f(x),g(x)在[b,a]连续,在(b,a)可导,且g'(x) = -1/x²在其中恒不为0.
由Cauchy中值定理,存在η ∈ (b,a)使f'(η)/g'(η) = (f(a)-f(b))/(g(a)-g(b)).
即(1-η)e^η = (be^a-ae^b)/(b-a),也即be^a-ae^b = (1-η)e^η(b-a).