设数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{Sn+n}都是公差为d（d≠0）的等差数列，则a1= _ ．

题目

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若{a_n}和{

Sn+n

}都是公差为d（d≠0）的等差数列，则a₁= ___ ．

答案

依题意，{an}和{Sn+n}都是公差为d（d≠0）的等差数列，Sn是关于n的二次函数，常数项为0，∴Sn+n=dn，∴Sn=d2n2-n，∴n≥2，Sn-1=d2（n-1）2-（n-1），两式相减可得an=2d2n-d2-1∵an=dn+c，∴2d2=d，∵d≠0，∴d=12，...

依题意得

Sn+n

=dn，可得S_n=d²n²-n，再写一式，两式相减可得a_n=2d²n-d²-1，结合a_n=dn+c，即可得出结论．

本题考点：等差数列的性质．

考点点评：本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．