一道关于曲线和方程的题目

题目

一道关于曲线和方程的题目
已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P（a,b)的轨迹方程.

答案

根据韦达定理解题目
sinβ + cosβ = a
sinβ * cosβ = b
第一个式子平方
1 + 2 sinβ * cosβ = a^2
所以
1 + 2b = a^2
b = (a^2 -1)/2
在求定义域
sinβ + cosβ = a
√2 (sinβcos45 + cosβsin45) = a
√2 sin(β + π/4) = a
|β|≤π/4
0 ≤β + π/4 ≤ π/2
sin(β + π/4) ∈ [0,1]
a ∈ [0,√2]
因此 P（a,b)的轨迹方程
b = (a^2 - 1)/2
其中 a ∈ [0,√2]
此轨迹为 抛物线的 一部分