设有两个命题p，q，其中p：关于x的不等式x2+（a-1）x+a2＞0的解集是R；q：f（x）=log（2a2+a+1）x是减函数，且p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

题目

设有两个命题p，q，其中p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R；q：f（x）=log_{（2a2+a+1）}x是减函数，且p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

答案

若p真，则关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R，即△＜0
即满足（a-1）²-4a²＜0
解得a＜-1或a＞

1

3

．
若q真，即f（x）=log_{（2a2+a+1）}x是减函数满足0＜2a²+a+1＜1．
解得-

1

2

＜a＜0；
若满足p∨q为真命题，即满足

p真 q假

或

p假 q真

；
即有：

a＜-1或a＞ 1 3  a≥0或a≤- 1 2

或

-1≤a≤ 1 3 - 1 2 ＜a＜0

即为{a|a＜-1，或-

1

2

＜a＜0，或a＞

1

3

}；

先解出符合真命题条件的参数范围．再根据p∨q为真命题，这时p、q中是一真一假两种情况，从而求实数a的取值范围．

本题考点：四种命题的真假关系；对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．

考点点评：p∨q为真命题，这时p、q中是一真一假两种情况，不能掉情况．