过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F做倾斜角为α的直线与抛物线交于A,B两点,求证:|AB|=2p/(sinα)^2
题目
过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F做倾斜角为α的直线与抛物线交于A,B两点,求证:|AB|=2p/(sinα)^2
答案
y^2=4x
焦点F(p/2,0)
准线x=-p/2
设焦点弦:y=tanα*(x-p/2) (α≠π/2)
y=tanα*(x-p/2)代入y^2=2px
(tanα)^2x^2-[(tanα)^2+2]px+(ptanα)^2/4=0
由根与系数关系
x1+x2=p[(tanα)^2+2]/(tanα)^2=[1+2/(tanα)^2]p
由抛物线上任意一点到焦点距离与到准线距离相等
|AB|=|AF|+|BF|
=|x1+p/2|+|x2+p/2|
=x1+x2+p
=2p[1+1/(tanα)]^2
=2p[1+(cotα)^2]
=2p(cscα)^2
=2p/(sinα)^2
当AP倾斜角为π/2时
|AB|=2p=2p/[sin(π/2)]^2
可知|AB|=2p/(sinα)^2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 蒲松龄的山市里,出现了五个表示时间的词语,请找出来加以解释,然后说明它在文中的作用,
- 若(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c 则分式(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值为?
- 为了减少从开始加热到沸腾时的时间,可以采取哪些措施
- 《爱的教育》读书笔记50字左右(20篇)快
- 一个两位数十位数与个位数的和是8个位与十位交换,所得的新数比原数大18求原数
- 简便计算.
- 用所给词的适当形式填空He __(feel)much__(good)now.
- 1.8x-20=x+20怎么解
- 她的书包在哪?在椅子背后. 翻译 他们的书在哪?在书架前面. 他的植物在哪?在桌子底下.
- 直线MN切半圆于P,AB为O的直径,AM⊥MN于M,BN⊥MN,若AM=a,BN=b,则AB的长为?梯形AMBN的面积为?