已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1),求出函数f(x)的解析式.
题目
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1),求出函数f(x)的解析式.
答案
由题意,当x=0时,f(x)=0
∵当x≥0时,f(x)=x(x+1),
∴当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(-x+1),
又∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,
∴x<0时,f(x)=-f(-x)=x(-x+1),
综上所述,f(x)=
.
先利用奇函数的图象关于原点对称,利用奇函数的定义求出函数f(x)的解析式.
函数奇偶性的性质.
本题考查了奇偶性的应用.若已知一个函数为奇函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切x都有f(-x)=-f(x)成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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