数学归纳法证明3^（n+1）＞2n^2+6n+2 n＞=2

题目

数学归纳法证明3^（n+1）＞2n^2+6n+2 n＞=2

答案

当n=2时,不等式左端=3^(2＋1)=27,不等式右端=2×2^2＋6×2＋2=22,27＞22,不等式成立；假设当n=k时不等式成立,k≥2为整数,即3^(k＋1)＞2k^2＋6k＋2成立,此不等式两端乘3得3^[(k＋1)＋1]＞6k^2＋18k＋6=(2k^2＋4k＋2)＋(6k＋6)＋2＋(4k^2＋8k-4)=2(k＋1)^2＋6(k＋1)＋2＋(4k^2＋8k-4),由于k≥2,所以4k^2＋8k-4＞0,所以3^[(k＋1)＋1]＞2(k＋1)^2＋6(k＋1)＋2＋(4k^2＋8k-4)＞2(k＋1)^2＋6(k＋1)＋2,所以3^[(k＋1)＋1]＞2(k＋1)^2＋6(k＋1)＋2,即当n=k＋1时原不等式也成立,因此对所有n≥2的正整数,原不等式均成立.